November 7th, 2011 | 
在3D渲染管线的透视变换（prospective transformation）中，远近裁剪面的取值不同，会对变换的结果造成一定的影响，主要体现在变换后z值的密度上。这次图形学作业有关于这方面的一道讨论题，顺便就把我的分析结果放上来吧。
先看一下透视变换矩阵：
其中F表示远裁剪面距离，D表示近裁剪面距离。这里只关心z坐标。
令Z为变换后的z坐标值，Zv为变换前在观察坐标系中的z坐标值，可以得到：
Z = (F*Zv–F*D) / Zv*(F-D)
首先我们单纯观察变换后的z值：
可以看到，物体在观察坐标系中越接近远裁剪面、远离近裁剪面，在z方向上就会变得越密集、越靠后。因此，在决定D和F的取值时，尽量让目标均匀地分布在D和F之间比较合理。其实D对于z值的影响要比F的影响大得多，F主要用来控制对远处物体的裁剪以提高渲染效率，而D如果太靠近摄像机的话就会让物体在变换后变得离摄像机更远。
接下来，我们在观察坐标系中取两个点，Zv分别为Zv1、Zv2（Zv1 != Zv2），变换后的Z分别为Z1、Z2，观察Z2-Z1的值：
Z2 – Z1 = (F*Zv2 – F*D) / Zv2*(F-D) – (F*Zv1 – F*D) / Zv1*(F-D)
= F / (F-D) * ((Zv2-D) / Zv2 – (Zv1-D) / Zv1)
= (F*D / (F-D)) * (Zv2-Zv1) / (Zv1*Zv2)
由于Zv2-Zv1始终是不变的（因为观察坐标系和这两个点都不动），所以Z2-Z1只和F、D有关。
假设F不变，那么Z2-Z1就变成了以D为自变量的函数f(D)，导函数为F2 / (F-D)2。由于F > D > 0，所以导函数在定义域上始终大于0，因此f(D)单调递增。所以在F不变的情况下，D的取值越小，即越接近摄像机，原来相隔一定z值的两个点就会变得越密。
对于D不变的情况也是同理分析，导函数小于0，所以f(F)单调递减。因此在D不变的情况下，F的取值越大，原来相隔一定z值的两个点就会变得越密。
» 转载请注明来源及链接：未来代码研究所
Posted in 
Tags: 