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October 14th, 2012 | 
该问题来自于《Cracking the Coding Interview 5th edition》练习题9.6。原题描述如下：“Implement an algorithm to print all valid (i.e., properly opened and closed) combinations of n-pairs of parentheses.”
该问题是典型的递归问题，有点类似于全排列算法，不同之处在于这里含有重复元素，而且需要验证左右的括号是否正确匹配。我在这里给出的代码和书上给的第二种解法原理基本相同，不过我觉得我的代码更简洁和易懂一点，所以发出来以备有需要的人参考。
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在网上有很多讲如何实现Tiled Matrix Multiplication的文章，不过大部分只对方阵且尺寸等于Tile尺寸整倍数的矩阵有效。我在这里贴出实现任意尺寸矩阵乘法的代码。
三角形光栅化是传统图形渲染管线的最后一步，也是最重要的一步，需要插值计算出三角形内部每个像素的颜色值，并根据z值进行深度测试以决定像素的远近关系。
光栅化的算法用掉了我好几天的时间，一开始是用Barycentric Coordinates算法进行的，结果帧率只有杯具的3，想办法把很多的乘除法改成了加减法还是没有起色，看来浮点数运算还是坑爹啊，于是决定用经典的Bresenham算法了。但是Bresenham算法是用来画线的，对于光栅化三角形来说还要考虑三角形内部针对顶点颜色的插值，于是我将其变成了Bresenham插值算法……
好久没玩PSP编程，昨天这学期的图形学结课，昨晚也把最后的作业submit了，于是这学期也就差不多结束了。虽然课时不多，但是图形学课的作业设计得确实不错，首先实现了完整的图形渲染流水线（矩阵变换->相机变换->透视映射变换->三角形光栅化与纹理映射），然后做了一些简单的光线追踪算法（反射、硬阴影与折射）。我打算把这学期在PC上实现的这些算法应用到PSP上面，这样就相当于做一个最简单的3D图形引擎了，以后可以在这个基础上再做扩展。
上次简单研究了下SDK自带的GU函数库，现在不打算用了，既然有了VRAM的指针，那干脆就从最底层开始玩吧！而且，为了提高编程效率，我决定在C的基础上加入C++的代码，不然光是C不支持运算符重载这一点就会让向量和矩阵运算痛苦万分的。另外不得不说的是，PSP编程不能直接使用C函数库，于是连sin、cos这种函数都浮云了，需要自己实现，sigh。
纹理映射是光栅化过程中重要的一步。由于众所周知的原因，透视投影是非线性变换，因此顶点原始的uv坐标在变换之后不可以直接使用线性插值计算新的uv坐标。例如，矩形四个顶点的uv坐标分别为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，矩形中点的uv坐标按照线性插值的话等于(0.5,0.5)，但是若矩形不是正对观察点的话，透视变换后中点的uv坐标就不一定等于(0.5,0.5)。
例如：
纹理贴图：
线性插值结果->错误：
透视矫正插值结果->正确：
Barycentric Coordinates算法，即“重心坐标系插值算法”，本质是通过计算2D空间中任意一点到三角形三边的相对距离，来确定点是否在三角形内部。这个算法比起常见的扫描线插值算法，编程更容易（不需要判断三角形类型），而且具有更高的精确度（避免了计算斜率时带来的误差）。Barycentric Coordinates算法不但可以判断像素点是否需要绘制，而且可以直接插值计算出需要绘制的像素点的颜色或纹理映射坐标。不过，我不知道计算量是否要比扫描线插值算法大，希望有感兴趣的朋友能比较一下。
本文首先简单讲一下算法的原理，然后给出代码实现。
网上有很多“绕任意轴的旋转矩阵”的文章，不过要么限定了所谓“任意轴”必须经过原点，要么只有推导没有结论。最近在完成图形学作业的时候正好用到了这个算法，通过Google娘找到了一篇名叫Glenn Murray的老外的文章，于是直接拿来用了。以下直接放结论，详细推导过程可以参考原文[1]。
算法的输入参数分别是旋转轴上的任意一点P(a,b,c)，单位化后的旋转轴方向向量V(u,v,w），旋转角度θ。
